СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 8

Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2022, 10–11 классы

( баллов) На продолжении стороны параллелограмма за точку отмечена точка , а на продолжении стороны за точку — точка . Оказалось, что . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что — биссектриса угла .

Ответ

Чертёж к решению

Решение.

Поскольку , то треугольники и подобны по двум углам. Следовательно, . По условию . Отсюда получаем, что .

Заметим, что треугольники и подобны по двум углам, поэтому .

Таким образом, . Это равенство эквивалентно тому, что — биссектриса треугольника , то есть угла .

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17circ. Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 6

(30 баллов) Основания AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 19 соответственно. AH и BG — высоты на прямую DC, CF — высота на прямую AB. Точки K, L, M, N — середины отрезков AB, CF, CD и AH соответственно. Найдите отношение площади трапеции ABCD к площади четырехугольника KLMN, если DG=17.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) В параллелограмме PQRS точка N — середина стороны RS. На стороне PS нашлась точка T такая, что angle PTN=angle QNT. Известно, что PT=5, а TS=3. Найдите длину отрезка QN. Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC. Точки K и M на отрезках CL и AC таковы, что KMparallel AB. Найдите длину отрезка KL, если KM=5, AM=8, AB=7, BL=(32/5). Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия