СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 9

( баллов) На стороне квадрата отмечены точки и так, что . На стороне отмечена точка так, что . На стороне отмечены точки и так, что . Отрезок пересекает отрезки , и в точках , и соответственно. Площадь какого из четырехугольников больше – или ?

Ответ

Ответ: Площадь больше.

Чертёж к решению

Решение: Обозначим , . Тогда и , и . Из равенств вытекает, что , и по теореме Фалеса . Значит, треугольники , и подобны. Далее находим , и .

Для того, чтобы сравнить площади заданных четырехугольников, осталось найти . Обозначим через середину стороны . Продлим сторону за точку и отметим такую точку , что . На стороне отметим точку – середину отрезка , то есть . Тогда , и по теореме Фалеса . Рассмотрим треугольники и . Они подобны с коэффициентом, равным . Следовательно, . Тогда , откуда , .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17^circ. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 5

(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90^circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90^circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AD и CE, которые пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ACH пересекает отрезок BC в точке F. Докажите, что angle ABH=angle BFH. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 5

(30 баллов) Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. На отрезке AC нашлась такая точка D, что DM и BC перпендикулярны. Отрезки AM и BD пересекаются в точке X. Оказалось, что AC=2BX. Докажите, что X — середина отрезка AM. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия