СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 9

Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2022, 8–9 классы

( баллов) На стороне квадрата отмечены точки и так, что . На стороне отмечена точка так, что . На стороне отмечены точки и так, что . Отрезок пересекает отрезки , и в точках , и соответственно. Площадь какого из четырехугольников больше – или ?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Площадь больше.

Чертёж к решению

Решение: Обозначим , . Тогда и , и . Из равенств вытекает, что , и по теореме Фалеса . Значит, треугольники , и подобны. Далее находим , и .

Для того, чтобы сравнить площади заданных четырехугольников, осталось найти . Обозначим через середину стороны . Продлим сторону за точку и отметим такую точку , что . На стороне отметим точку – середину отрезка , то есть . Тогда , и по теореме Фалеса . Рассмотрим треугольники и . Они подобны с коэффициентом, равным . Следовательно, . Тогда , откуда , .

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17circ. Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 4

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, N — середина отрезка CM. Прямая BN пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Найдите площадь треугольника ACD, если AB=10.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.
Средняя
Теория чисел
Планиметрия