СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 10

Сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2022, 8–9 классы

( баллов) Пусть обозначает произведение цифр натурального числа . При каком наибольшем натуральном найдётся такое натуральное число , что

Ответ

Ответ: .

Решение: Покажем вначале, что . Действительно, при в наш набор чисел входит . Оно равно нулю, поскольку число заканчивается на . Тогда , что невозможно.

Приведем теперь реализацию для . В качестве можно взять число вида при любом . В этом случае , , а числа , очевидно, возрастают.

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске были записаны два примера на сложение чисел, но хулиган Вася стер в каждом примере одно из слагаемых, а также получившийся результат: 99+ldots=ldots 203+ldots=ldots Отличник Петя помнит, что стертое слагаемое было одинаковым для обоих примеров, а результатами являлись квадраты р

Сложная

Алгебра

Теория чисел

Функции

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 11

(40 баллов) Числа от 1 до 600 разбиты на несколько групп. Известно, что если в группе более одного числа, то сумма любых двух чисел из этой группы делится на 6. Какое наименьшее количество групп может быть?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 11

(40 баллов) Назовём хвостом натурального числа любое число, которое получается из него отбрасыванием одной или нескольких первых цифр. Например, 234, 34 и 4 — хвосты числа 1234. Существует ли шестизначное число без нулей в десятичной записи, которое делится на каждый из своих хвостов?

Сложная

Теория чисел

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 11

(40 баллов) Найдите все пары рациональных чисел (a,b), для которых √a+√b=√(2+√3).

Сложная

Алгебра

Теория чисел

Функции