СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 6

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2026, 8–9 классы

( баллов) На сторонах и как на основаниях вне треугольника построены равнобедренные треугольники и , а на стороне внутрь треугольника — равнобедренный треугольник . Известно, что . Верно ли, что — параллелограмм?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: да.

Чертёж к задаче

Решение. Заметим, что треугольники , , подобны по трём углам (равнобедренные с одинаковым углом напротив основания). Следовательно,

Поскольку , то из первого равенства получаем подобие треугольников и . А так как , то из второго равенства получаем подобие треугольников и .

Таким образом, получаем подобие треугольники и . В них будут равны , , . Но треугольник по условию равнобедренный и в нём . Следовательно, . Отсюда, , но по условию , поэтому . Аналогично,

То есть в четырёхугольнике противоположные стороны равны. Значит, это параллелограмм.

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

(30 баллов) Пусть M — середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку C; I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Продолжение медианы из точки M треугольника BMI пересекает сторону BC в точке D. Верно ли, что IDparallel AB?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.
Сложная
Алгебра
Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) В треугольнике ABC проведены высота CF и медиана BM. Известно, что angle MBC=angle FCA и BM=CF. Верно ли, что треугольник ABC — равносторонний?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 7

(40 баллов) В пространстве отмечены 100 точек. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезками. Если какие-то два отрезка пересекаются, то у них есть общий конец. Известно, что как ни покрась точки в красный и синий цвета, количество отрезков с разноцветными концами будет не более 500. Докажите,
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика