СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 7
( баллов) Каждое число, большее , покрашено в один из двух цветов — синий или красный. Известно, что произведение любых трёх (не обязательно различных) синих чисел — синее, а произведение любых трёх красных чисел — красное. Докажите, что или произведение любых двух красных чисел — красное, или произведение любых двух синих чисел — синее.
Ответ
Решение. Предположим противное. Пусть существуют такие , , — красные числа (не обязательно различные) и , , — синие числа (не обязательно различные), что и . Перемножим (домножим левую часть первого равенства на правую часть второго равенства, а правую часть первого — на левую часть второго):
Но, по условию, левая часть полученного равенства должна быть красной, а правая — синей. Так быть не может. Следовательно, наше предположение неверно.
Верное решение