СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 3
( баллов) Диагонали и четырехугольника пересекаются в точке , на диагонали отмечена точка такая, что . Отметьте верные утверждения.
а) Расстояния от точки до концов диагонали равны: .
б) Сумма площадей треугольников и равна сумме площадей треугольников и .
в) Сумма площадей треугольников и равна сумме площадей треугольников и .
г) Среди перечисленных утверждений нет верных.
Ответ
Ответ: б).
Решение: Рассмотрим каждое из утверждений.
а) Равенство эквивалентно тому, что точка лежит на серединном перпендикуляре к . На рисунке слева приведен пример четырехугольника , для которого это не так. Значит, утверждение а) неверно.
б) У треугольников и равны основания и , а также высоты, опущенные из вершины . Следовательно, площади этих треугольников равны. Аналогичным образом равны площади треугольников и . Поэтому
то есть б) верно.
в) В силу б) . Поэтому в) равносильно равенству площадей и . Высоты этих треугольников равны перпендикуляру, опущенному из вершины на прямую . Но основания и треугольников совпадать не обязаны (соответствующий пример показан на рисунке справа). Значит, утверждение в) неверно.