СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 1
( баллов) детей различного роста встали в круг, все лицом в центр. Каждый из них сказал: «Мой правый сосед выше моего левого соседа». Какое наименьшее количество детей могло сказать правду?
а) ;
б) ;
в) ;
г) больше .
Ответ
Ответ: в).
Решение: Пронумеруем места расположения детей в круге числами от до против часовой стрелки. Разделим детей на группы: стоящих на местах с нечетными номерами — первая группа, и стоящих на местах с четными номерами — вторая группа.
Заметим, что высказывания детей из первой группы относятся только к детям из второй группы, и наоборот. Так как все дети разного роста, в каждой из групп есть самый высокий ребенок. Таким образом, как минимум высказывания являются правдой — это высказывания ребенка из первой группы, стоящего слева от самого высокого во второй группе, и ребенка из второй группы, стоящего слева от самого высокого в первой группе.
Приведем пример расположения, для которого верны ровно высказывания. Выстроим детей по убыванию их роста (то есть первым будет самый высокий, а -м — самый низкий). Легко заметить, что при таком расположении будут верны только высказывания детей, стоящих на -м и -м местах.
Верное решение