СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 8
( баллов) Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника , опущенные из вершин и , пересекаются в точке , а также пересекают биссектрису угла в точках и соответственно. Докажите, что треугольник — равнобедренный.
Ответ
Решение: Пусть — основание биссектрисы угла . Заметим, что возможны два варианта взаимного расположения точек и на биссектрисе : точка лежит между точками и (рисунок слева) или точка лежит между точками и (рисунок справа).
Пусть и — основание высот, опущенных из вершин и соответственно. Рассмотрим прямоугольные треугольники и . Они подобны по двум углам, так как — биссектриса. Следовательно, , и один из этих углов является углом треугольника , а второй — вертикальным с другим углом треугольника . Таким образом, в треугольнике равны углы при вершинах и , т.е. треугольник является равнобедренным.