СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 2
( баллов) В каждой клетке квадрата записали число, равное количеству прямоугольников (как вертикальных, так и горизонтальных), в которых эта клетка является крайней. В скольких клетках записаны числа, большие или равные ?
Ответ
Ответ: .
Решение. Будем обозначать клетки квадрата парами , где , . Нумерацию начнем с нижнего левого угла квадрата.
Клетка является правой крайней для горизонтального прямоугольника, если — неравенство , и левой крайней, если — неравенство . Клетка является верхней крайней для вертикального прямоугольника, если — неравенство , и нижней крайней, если — неравенство . При этом нас интересует количество клеток квадрата, для которых выполняются не менее трех неравенств из –.
Сначала найдем количество клеток, для которых верны все неравенства. Это клетки, для которых и . Их .
Теперь вычислим количество клеток, для которых не верно неравенство , но верны –. Т.е. и . Таких клеток . Легко видеть, что из-за симметрии (квадрата) количество клеток, для которых верны другие наборы трех неравенств, будут такими же.
В сумме получаем .
Верное решение