СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 2
( баллов) По кругу выложены шариков, белых и красных. Среди любых пяти шариков, лежащих подряд, ровно два — белые. При каком такое возможно?
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ни один из указанных ответов не является верным.
Ответ
Ответ: д).
Решение. Начнем нумерацию шариков в круге с какого-либо белого шарика. Среди первых пяти шариков, по условию, ровно два белых — первый и -й, где — это одно из чисел от до включительно. Теперь рассмотрим пятерку шариков, начиная со второго: на местах во второго по пятое белым является только -й шарик; следовательно, чтобы в этой пятерке было ровно два белых, на шестом месте тоже должен стоять белый. Аналогичными рассуждениями получаем, что белые шарики должны стоять на местах с номерами , и на местах с номерами , . Следовательно, круг с такими условиями на расположение шариков должен состоять из делящегося на количества шариков.
Верное решение