СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 8
( баллов) В начале каждого урока физкультуры школьников разбиваются на команды по человек в каждой. Докажите, что найдутся два школьника, которые были в одной команде три урока подряд.
Ответ
Первое решение. Возьмем всех школьников из какой-либо команды с первого урока и посмотрим, как они распределятся по трем командам на втором уроке. Так как распределяются человек по трем командам, то по принципу Дирихле найдется команда, в которую попадут как минимум человека.
Теперь возьмем этих четверых и посмотрим на их распределение по командам на третьем уроке. Поскольку команд по-прежнему три, то по принципу Дирихле найдется такая команду, в которой будет как минимум двое человек из рассматриваемых четырех. Легко заметить, что эти двое были в одной команде и на первом уроке, и на втором, и оказались в одной команде на третьем.
Второе решение. На каждом уроке физкультуры каждый школьник попадает в одну из трех команд; будем обозначать команды цифрами , и . Поэтому участие в командах на трех уроках подряд для каждого школьника можно описать тройкой чисел , где каждое из , и принимается значений , или . Таких различных троек существует . Но школьников по условию задачи , следовательно, по принципу Дирихле найдутся два школьника, участие которых в командах описывается одинаковыми тройками. Это те школьники, которые были в одной команде в течение трех уроков подряд.