СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 7

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) Дан вписанный четырёхугольник . На отрезках и нашлись такие точки и соответственно, что и . Докажите, что .

Чертёж к задаче

Ответ

Решение. Поскольку , то треугольник является равнобедренным с основанием , поэтому . Аналогично, треугольник является равнобедренным с основанием и . Так как вписанный четырёхугольник, то . Следовательно, в треугольниках и все углы при основаниях равны. Отсюда, .

Углы, смежные с данными, также будут равны: . Но оба эти угла опираются на хорду и их вершины лежат по одну сторону от неё, поэтому эти углы будут вписанными для окружности, проходящей через точки , , и . Поэтому, как вписанные для этой окружности, будут равны и . Но , так как вписанный четырёхугольник. Но и — соответствующие углы при прямых и и секущей . Из равенства этих углов получаем параллельность прямых.

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) В треугольнике ABC проведены высота CF и медиана BM. Известно, что angle MBC=angle FCA и BM=CF. Верно ли, что треугольник ABC — равносторонний?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 6

(30 баллов) На сторонах AB и AC как на основаниях вне треугольника ABC построены равнобедренные треугольники ABP и ACQ, а на стороне BC внутрь треугольника — равнобедренный треугольник BCR. Известно, что angle APB=angle AQC=angle BRC=118circ. Верно ли, что APRQ — параллелограмм?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

(30 баллов) Пусть M — середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку C; I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Продолжение медианы из точки M треугольника BMI пересекает сторону BC в точке D. Верно ли, что IDparallel AB?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.
Сложная
Алгебра
Планиметрия