СПбГУ 2025, отборочный этап, 8–9 классы, задача 5
( баллов) Медиана прямоугольного треугольника () пересекает вписанную окружность в точках и . Известно, что . Докажите, что один из углов треугольника равен .
Ответ
Решение. Поскольку медиана пересекает вписанную окружность прямоугольного треугольника в двух точках (а не в одной), то данный треугольник не является равнобедренным и центр вписанной окружности не лежит на медиане. Пусть, для определённости, центр лежит внутри треугольника и пусть точка лежит между и (как на рисунке).
Заметим, что — серединный перпендикуляр к хорде . Следовательно, . Отсюда получаем, что прямоугольные треугольники и равны. Поэтому .
Пусть и — проекции точки на и соответственно (поскольку лежит внутри остроугольного треугольника , то её проекция будет лежать на ), то есть как радиусы вписанной окружности. Следовательно, в прямоугольных треугольниках и равны гипотенузы и катеты, то есть получаем, что . Отсюда, . То есть треугольник равнобедренный с основанием . Но , так как по условию — медиана прямоугольного треугольника. Следовательно, в треугольнике равны все стороны и угол , являющийся и углом треугольника , будет равен .