СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 12

( баллов) Для любых натуральных чисел докажите, что

Ответ

Решение. Так как , то делится на . И аналогично делится на . Но при этом НОДы взаимно просты, так как один из них является делителем , а второй — делителем . Следовательно, сумма делится и на произведение НОДов, а тогда она не меньше этого произведения.

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 14

(40 баллов) Существует ли натуральное число n, для которого числа n⁴+4 и (n+2)⁴+4 взаимно просты?

Средняя

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 3

(10 баллов) У натурального числа N ровно 4 натуральных делителя, при этом какие-то два из них отличаются на 157. Чему может быть равно N? Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.

Средняя

Теория чисел

СПбГУ 2025, отборочный этап, 8–9 классы, задача 3

(20 баллов) Жора выписал на доску все натуральные числа k>1, не превосходящие 20, для которых верно следующее утверждение: «Если клетчатый прямоугольник можно разрезать по клеткам на k равных (по форме) частей, то этот же прямоугольник можно разрезать по клеткам и на меньшее k (но большее 1) количес

Средняя

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 5

(20 баллов) 13 детей получили суммарно 1144 конфеты, причём количества конфет, полученных детьми, — последовательные натуральные числа. Раз в минуту один из детей, кто может отдать каждому из остальных детей по конфете, делал это (если таких детей было несколько, то делал только один из них). Через

Средняя

Теория чисел

Комбинаторика