Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10
В вершинах правильного -угольника разместили белых и чёрных фишки, причём чёрные фишки лежат в соседних вершинах. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?
Ответ
Ответ. .
Решение. Опишем вокруг многоугольника окружность. Если три вершины образуют прямоугольный треугольник, то гипотенуза является диаметром этой окружности.
Возможны два случая.
. Угол с чёрной фишкой — прямой. Тогда гипотенузу для каждой из чёрных фишек можно выбрать способами. Всего в этом случае получаем способов.
. Угол с чёрной фишкой — не прямой. Значит, диаметр с концами в вершинах с белой и чёрной фишками является гипотенузой. Оставшуюся вершину прямого угла можно выбрать способами. Всего в этом случае получаем способа.
Общее количество способов есть .