Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 7

В четырёхугольнике , вписанном в окружность, известно, что , , , . Прямые и пересекаются в точке , а прямые и — в точке . Найдите квадрат длины отрезка .

Ответ

Ответ. .

Решение. Из подобия треугольников и следует, что

Обозначая , , получаем систему уравнений

откуда , . Аналогично находим, что , .

Пусть . Тогда , и, записав теорему косинусов для треугольников и , получаем

Решив эти уравнения, находим, что .

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8

Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиусы 5 и 8, а расстояние между их центрами больше 13. Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10

В вершинах правильного 50-угольника разместили 49 белых и 1 чёрную фишки. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 7

В треугольнике PQR на стороне PQ выбрана точка K, а на стороне QR — точка L. Отрезки PL и KR пересекаются в точке T. Чему равна площадь треугольника PQR, если S_PKT=10, S_PTR=11, S_RTL=12?

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8

В треугольнике ABC с острыми углами при вершинах A и B проведена высота CH. Точки M и N — середины сторон AC и BC соответственно. Площадь треугольника AHM равна 120, а радиус вписанной в него окружности равен dfrac{15}{4}. Площадь треугольника BHN равна 48, а радиус вписанной в него окружности равен

Сложная

Планиметрия