ПВГ 2025, 10 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Отборочный этап, 2025, 10 класс

Три окружности с центрами , и попарно касаются друг друга внешним образом и находятся в полосе между находящимися на расстоянии друг от друга параллельными прямыми и так, что прямая касается первых двух окружностей и не имеет общих точек с третьей, а прямая касается первой и третьей окружностей и не имеет общих точек со второй. При этом . Найдите наименьшее возможное значение функции , где --- площадь , а --- радиус вписанной в окружности. При необходимости округлите ответ до сотых. Если решения нет в ответе укажите .

Ответ

Ответ: .

Решение:

Докажем, что .

Вспомогательное построение для трех окружностей

Из теоремы Пифагора в получаем требуемое равенство.

В треугольнике из теоремы косинусов вытекает:

Обозначим , используя получаем

После подстановки косинуса, получаем уравнение:

Следовательно . Поэтому .

Поскольку , то площадь треугольника :

Полупериметр треугольника равен . Поскольку , , то

Похожие задачи

ПВГ 2024, 9 класс, задача 4

На плоскости покрашены в черный цвет точки с целыми координатами (x,y), где x,y принимают целые значения от 1 до 2024 (т.е. всего 2024² точек). Найдите максимальное число точек, которые можно перекрасить в красный цвет с соблюдением условия: каждый отрезок, концы которого окрашены в красн

Сложная

Геометрия

Комбинаторика

ПВГ 2024, 11 класс, задача 10 (творческая IV)

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, причём BD:DA=(√3+1):2. Точка E – середина DC. Найдите минимально возможное значение выражения AB²+BC², если известно, что произведение всех медиан в треугольнике DBE не менее m. При необходимости округлите ответ до сотых. m=1700.

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2023, 11 класс, задача 3

Из точки M, лежащей внутри треугольник ABC, проведены перпендикуляры MD, ME, MF на стороны BC, AC, AB соответственно. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника DEF, если известно, что BC=a, AC=b, AB=c, MD=k, MF=m. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до бл

Сложная

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2023, 10–11 классы, задача 5 (10), задача 8 (11, творческая II)

Точки A, B и C принадлежат множествам, заданным на координатной плоскости Oxy уравнениями y-2x-1=0, y-7+3x=0 и y-1=0 соответственно. Точка D принадлежит множеству, заданному на координатной плоскости Oxy неравенством (y-2x-1)(y-7+3x)(y-1)>0. Найдите минимально возможное значение AD²+BD

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия