ПВГ 2023, 10–11 классы, задача 5 (10), задача 8 (11, творческая II)
Точки , и принадлежат множествам, заданным на координатной плоскости уравнениями , и соответственно. Точка принадлежит множеству, заданному на координатной плоскости неравенством
Найдите минимально возможное значение .
Ответ
Ответ: .
Решение.
1. Первые три множества — прямые линии (см. рисунок ). Четвертое множество закрашено на рисунке, оно состоит из четырёх областей: центральная область, ограниченная данными прямыми, и три полубесконечные области, каждая из которых ограничена двумя прямыми.
2. Рассмотрим представленную на рисунке ситуацию, когда точка находится внутри центрального треугольника. Пусть стороны треугольника равны . Обозначим , , .
Тогда мы можем найти площадь треугольника (в общем случае — по формуле Герона, а в данном случае, учитывая, что одна из сторон параллельна оси, как полупроизведение основания на высоту). С другой стороны, площадь равна .
Таким образом, . Далее можно сделать оценку с помощью неравенства Коши-Буняковского-Шварца:
Отсюда . Это и есть минимальное значение. Оно достигается при . Можно доказать, что в этом случае точка находится внутри центрального треугольника.
3. Отметим, что минимум не может достигаться, если точка находится не в центральном треугольнике, а в одной из трех полубесконечных областей. Если предположить обратное, то можно поставить в соответствие этой точке какую-то точку внутри центрального треугольника, для которой сумма квадратов будет меньше.
По-другому объяснить факт о том, что минимум не может достигаться, если точка находится не в центральном треугольнике, а в одной из трех полубесконечных областей можно так: Площадь треугольника будет равна (например, когда мы находимся в желтой области напротив стороны ) , оценка на сумму квадратов получится ровно такая же по неравенству Коши-Буняковского-Шварца выше, но достижима она только если одного знака, а — другого, что невозможно.
4. Таким образом, минимальное значение равно . При данных числовых данных получим последовательно:
a. координаты точек пересечения прямых: , , ;
b. длины сторон треугольника: ; ; ;
c. площадь треугольника: ;
d. Тогда искомый минимум равен .
5. Заметим, что задача поиска минимума суммы квадратов расстояний до трех сторон треугольника от точки внутри треугольника — классическая задача планиметрии. Точка , в которой достигается минимум, называется точкой Лемуана.