Отборочный этап

11 класс

Отборочный тур

ПВГ 2023, 10–11 классы, задача 5 (10), задача 8 (11, творческая II)

Точки A, B и C принадлежат множествам, заданным на координатной плоскости Oxy уравнениями y-2x-1=0, y-7+3x=0 и y-1=0 соответственно. Точка D принадлежит множеству, заданному на координатной плоскости Oxy неравенством (y-2x-1)(y-7+3x)(y-1)>0. Найдите минимально возможное значение AD²+BD

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2023, 11 класс, задача 1

Решите неравенство (x-2) · √((2x-2/x-2))le x+2. В ответе укажите сумму всех целочисленных значений x, удовлетворяющих этому неравенству и не превосходящих по абсолютной величине 12.

Средняя

Алгебра

Неравенства

ПВГ 2023, 11 класс, задача 2

Решите уравнение sin3x+sin x=4sin³x. В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку [-dfrac{35π}{6};-dfrac{11π}{2}], при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

Средняя

Уравнения

Тригонометрия

ПВГ 2023, 11 класс, задача 3

Из точки M, лежащей внутри треугольник ABC, проведены перпендикуляры MD, ME, MF на стороны BC, AC, AB соответственно. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника DEF, если известно, что BC=a, AC=b, AB=c, MD=k, MF=m. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до бл

Сложная

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2023, 11 класс, задача 4

Решите систему Вычислите значения выражения x_k+y_k для каждого решения (x_k,y_k) системы и найдите среди них максимальное. В ответе укажите найденное максимальное значение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

Средняя

Алгебра

Уравнения

ПВГ 2023, 11 класс, задача 5

Два школьника катаются на коньках с постоянными скоростями по замкнутому кругу беговой дорожки ледового стадиона. Если они бегут в разных направлениях, то их встречи происходят в четыре раза чаще, чем происходят обгоны в случае, когда они бегут в одном направлении. Скорость одного из школьников равн

Простая

Алгебра

Уравнения

ПВГ 2023, 11 класс, задача 6

Найдите сумму всех целых значений a, не превосходящих по абсолютной величине 20, при каждом из которых неравенство x²+(a+1)x-6a²+3a<0 выполняется для всех значений x∈[1;5].

Средняя

Алгебра

Неравенства

ПВГ 2023, 11 класс, задача 7 (творческая I)

Найдите сумму 1 · 3+3 · 5+5 · 7+ldots+59 · 61.

Средняя

Алгебра

Выражения и преобразования

Прогрессии

ПВГ 2023, 11 класс, задача 9 (творческая III)

Последовательность целых чисел задана рекуррентно: x₀=0, x₁=1, x_2k=2 · x_2k-1-x_2k-2,qquad x_2k+1=3 · x_2k-x_2k-1. Найти operatorname{НОД}(x₁₄₂₈,x₁₇₁₆), где operatorname{НОД}(a,b) это наибольший

Сложная

Теория чисел

Прогрессии

10 класс

Отборочный тур

ПВГ 2023, 7–10 классы, задача 3 (7–8), задача 2 (9), задача 1 (10)

Магистр Рассеянных наук забыл пин-код от своего телефона. Он помнит, что пин-код был составлен из 6 различных цифр, идущих по возрастанию, причем первая цифра была 1. А еще он помнит, что это 6-значное число является точным квадратом (квадратом целого числа). Помогите магистру вспомнить пин-код.

Средняя

Теория чисел

ПВГ 2023, 10–11 классы, задача 5 (10), задача 8 (11, творческая II)

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2023, 10 класс, задача 2

Федя внутри треугольника отметил n точек (точки лежат в треугольнике не попадая на его стороны). Затем он образовал множество A состоящее из n отмеченных точек и трёх точек-вершин исходного треугольника. После он соединил некоторые пары точек из множества A отрезками, которые могут пересекаться толь

Средняя

Планиметрия

Комбинаторика

ПВГ 2023, 10 класс, задача 3

Дан многочлен 3-ей степени P(x)=ax³+bx²+cx+d, ane0, принимающий значения P(-2023)=P(0)=P(2023)=2024. Найдите численное значение выражения P(-2024)+P(-2023)+P(-2022)+P(-2021)+ldots+P(-1)+P(0)+P(1)+ldots+ +P(2022)+P(2023)+P(2024).

Простая

Алгебра

Функции

ПВГ 2023, 10 класс, задача 4

Найдите сумму 1 · 3+3 · 5+5 · 7+ldots+63 · 65.

Простая

Алгебра

Выражения и преобразования

Прогрессии

ПВГ 2023, 10 класс, задача 6

Последовательность целых чисел задана рекуррентно: x₀=0, x₁=1, x_2k=7⁶ · x_2k-1-x_2k-2,qquad x_2k+1=2013!x_2k-x_2k-1. Найти operatorname{НОД}(x_2023!,x_2+2023!), где operatorname{НОД}(a,b

Сложная

Теория чисел

Прогрессии

9 класс

Отборочный тур

ПВГ 2023, 7–9 классы, задача 4 (7–8), задача 3 (9)

Петя и Вася играют в интересную игру. В начале игры у каждого по 18 карт. Петя и Вася ходят по очереди (Петя ходит первым), каждым ходом один отдает другому некоторое количество карт, причем количества переданных карт не могут повторяться — если кто-то, скажем, передал 3 карты, то дальше по 3 карты

Сложная

Комбинаторика

ПВГ 2023, 7–9 классы, задача 2 (7–8), задача 1 (9)

Будем записывать числа с помощью единиц. Разрешается использовать числа вида 11ldots1, арифметические операции (+,-,*,/), возведение в степень (wedge) и скобки. Например, число 1024 можно записать как (1+1)^11-1. Запишите число N=underbrace{11ldots1}_{111 единиц} так, используя не

Простая

Теория чисел

Выражения и преобразования

ПВГ 2023, 7–10 классы, задача 3 (7–8), задача 2 (9), задача 1 (10)

Средняя

Теория чисел

ПВГ 2023, 7–9 классы, задача 5 (7–8), задача 4 (9)

Алиса внутри треугольника отметила n точек (точки лежат в треугольнике не попадая на его стороны). Затем она образовала множество A состоящее из n отмеченных точек и трёх точек-вершин исходного треугольника. После она соединила некоторые пары точек из множества A отрезками, которые могут пересекатьс

Средняя

Планиметрия

Комбинаторика

ПВГ 2023, 9 класс, задача 5

Дан многочлен 3-ей степени P(x)=ax³+bx²+cx+d, ane0, принимающий значения P(-2023)=P(0)=P(2023)=2024. Найдите численное значение выражения P(-2022)+P(-2021)+ldots+P(-1)+P(0)+P(1)+ldots+P(2022).

Простая

Алгебра

Функции

ПВГ 2023, 9 класс, задача 6

В равносторонний треугольник ABC вписан другой равносторонний треугольник EFG так, что вершины E,F,G лежат соответственно на сторонах AB, BC и CD. Известно, что сумма площадей всех шести равносторонних треугольников AEE₁, E₂EB, BFF₁, F₂FC, FGG₁,

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

7–8 класс

Отборочный тур

ПВГ 2023, 7–9 классы, задача 4 (7–8), задача 3 (9)

Сложная

Комбинаторика

ПВГ 2023, 7–9 классы, задача 2 (7–8), задача 1 (9)

Простая

Теория чисел

Выражения и преобразования

ПВГ 2023, 7–10 классы, задача 3 (7–8), задача 2 (9), задача 1 (10)

Средняя

Теория чисел

ПВГ 2023, 7–9 классы, задача 5 (7–8), задача 4 (9)

Средняя

Планиметрия

Комбинаторика

ПВГ 2023, 7–8 класс, задача 1

В 7^А классе учится 20 человек, и все они очень любят многопользовательские компьютерные игры. Каждый из учащихся играет в одну или две таких игры. При этом для любых 2 учащихся найдется общая игра (в которую играют оба). Найдите наибольшее N, такое, что гарантированно найдется игра, в кот

Сложная

Комбинаторика

ПВГ 2023, 7–8 класс, задача 6

Дан многочлен 3-ей степени P(x)=ax³+bx²+cx+d, ane0, принимающий значения P(-2023)=P(0)=P(2023)=2024. Найдите численное значение выражения P(2024)+P(-2024).

Простая

Алгебра

Функции