ПВГ 2023, 7–10 классы, задача 3 (7–8), задача 2 (9), задача 1 (10)
Магистр Рассеянных наук забыл пин-код от своего телефона. Он помнит, что пин-код был составлен из различных цифр, идущих по возрастанию, причем первая цифра была . А еще он помнит, что это -значное число является точным квадратом (квадратом целого числа). Помогите магистру вспомнить пин-код.
Ответ
Ответ: .
Решение: Обозначим , где (разные буквы, вообще говоря, могут означать одинаковые цифры). Заметим, что не является точным квадратом, поэтому . Но квадрат не может оканчиваться на или , следовательно , а или .
Пусть , тогда , т.е. . Поскольку , то или . Проверяем, что числа , , , , не являются точными квадратами, поэтому .
Заметим, что , но не может быть больше , поэтому . С другой стороны — -значное число, значит . Следовательно, . Кроме того, , следовательно, .
Будем решать . Рассмотрим случаи:
• Случай . Тогда , следовательно, ( отбрасываем), проверяем — не подходит (цифра повторяется).
• Случай . Тогда , следовательно, ( отбрасываем). Находим — получили ответ.