ПВГ 2024, 11 класс, задача 8 (творческая II)
Петя задумал два целых числа и сообщил их Васе. Вася сложил сумму, разность, произведение и частное этих двух чисел и получил в результате . Узнав это число, Гена подсчитал, что вероятность того, что он угадает числа Пети, равна , где и – взаимно простые натуральные числа. Найдите , если известно, что Вася и Гена не ошиблись в своих расчетах.
Ответ
Ответ: .
Решение. Если первое число Пети равно , а второе число равно , то их сумма равна , их разность равна , их произведение равно , и их частное равно . Тогда
Поэтому делится на и
Обозначим , тогда . Так как , то возможны следующие варианты:
• , (разумеется, не подходит);
• , или ;
• , или ;
• , или .
Таким образом, имеется решений:
Значит, вероятность того, что Гена угадает числа Пети, равна . Поэтому , , .
Замечание. Часть решавших эту задачу неверно использовали модуль разности вместо разности, и/или частным двух чисел считали число, которое получается, если разделить одно из чисел на другое, не обращая внимания на их порядок. На самом деле, важен порядок чисел.
К примеру, у части решавших в ответ попала пара . Их обоснование:
Но, на самом деле, если взять пару , то результат не определен, так как не делится на . Если же взять пару , то получается
По тем же причинам не подходят пары и .