ПВГ 2024, 10 класс, задача 3

Средняя
Алгебра
Теория чисел
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Отборочный этап, 2024, 10 класс

Петя задумал два целых числа и сообщил их Васе. Вася сложил сумму, разность, произведение и частное этих двух чисел и получил в результате . Узнав это число, Гена подсчитал, что вероятность того, что он угадает числа Пети, равна , где и – взаимно простые натуральные числа. Найдите , если известно, что Вася и Гена не ошиблись в своих расчетах.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Пусть Петя задумал числа и . Тогда

Поэтому делится на и

Обозначим , тогда . Так как , то возможны следующие варианты:

  1. , (разумеется, не подходит);

  2. , или ;

  3. , или .

Таким образом, имеется решений:

Значит, вероятность того, что Гена угадает числа Пети, равна . Поэтому , , .

Похожие задачи

ПВГ 2022, 7–8 класс, задача 6

Найдите сумму всех положительных несократимых дробей вида frac n{77}, не превосходящих 2.
Средняя
Теория чисел

ПВГ 2022, 10–11 классы, задача 4

Решите систему Вычислите значения выражения (yk/xk) для каждого решения (xk,yk) системы и найдите среди них минимальное. В ответе укажите найденное минимальное значение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.
Средняя
Алгебра
Уравнения

ПВГ 2023, 11 класс, задача 6

Найдите сумму всех целых значений a, не превосходящих по абсолютной величине 20, при каждом из которых неравенство x2+(a+1)x-6a2+3a<0 выполняется для всех значений x∈[1;5].
Средняя
Алгебра
Неравенства

ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 1

Решите неравенство (√(frac{x/γ) +(α+2))-(x/γ) -α}{x2+ax+b}ge0. В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру 0. α=3, γ=1, a=-15, b=54.
Средняя
Алгебра
Неравенства
Функции