ПВГ 2025, 7–9 классы, задача 2 (7–8), задача 1 (9)
Число, составленное из одних единиц называют репьюнит, например, , , и т.д. Найдите наименьший репьюнит, который делится на без остатка. В ответе запишите количество единиц в репьюните (например, для в ответе надо написать ).
Ответ
Ответ: .
Решение: Очевидно, что поскольку репьюнит должен быть кратен , тогда сумма цифр тоже, поэтому длина (кол-во единиц) кратна . Разобьем на тройки: и поделим на . Результат будет . Чтобы он был кратен , сумма цифр должна делиться на , значит троек было , т.е. единиц.
Другое решение: Запишем как . Обозначим частное и пусть — десятичная запись числа . Очевидно, . Это число должно состоять из одних единиц. Итак,
откуда
или
Так как последние цифры уменьшаемого известны, то мы можем производить вычитание («в столбик»), выясняя тем самым последние знаки самого числа . Приписывая эти знаки слева к нулям в правой части, мы сможем продолжить вычитание, выясняя новые знаки, и так далее, пока это возможно (т. е. пока вновь полученные знаки числа не станут равными ). В начале получим , потом , потом и становится понятное закономерность – цифры числа идут «тройками», а на конце – : . В числе (24) цифры, значит нужно взять единиц, чтобы получить .