ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 7 (творческая I)
Найдите все не превосходящие натуральные значения , при которых сумма делится на . Расположите эти значения в порядке возрастания: . В ответе укажите .
Ответ
Ответ: .
Решение. Так как
то должно делиться на . Так как числа , и взаимно просты, то одно из них должно делиться на .
- Если делится на , то , , или . При подстановке этих значений в выражение получаем, что делимость будет при и при .
- Если делится на , то , , или . При подстановке этих значений в выражение получаем, что делимость будет при и при .
- Если делится на и при этом нечетно, то , , или . При подстановке этих значений в выражение получаем, что делимость будет при и при .
Таким образом, подходят значения , , , , , . Четвёртым из них является .