ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 1
Решите неравенство (√(frac{x/γ) +(α+2))-(x/γ) -α}{x2+ax+b}ge0. В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру 0. α=3, γ=1, a=-15, b=54.ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 2
Решите уравнение cos2x+cos6x+2sin2x=1. В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку A, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой. A=[(mπ/6);((m+1)π/6)], m=5.ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 3
Из точки M, лежащей внутри треугольника ABC, на стороны BC, AC, AB проведены перпендикуляры, длины которых равны k, l и m соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если angle CAB=α и angle ABC=β. В случае, если ответ будет нецелым, округлите его до ближайшего целого. α=(π/6), β=(π/4), k=3, lПВГ 2021, 10–11 классы, задача 4
Решите систему Вычислите значения выражения (xk/yk) для каждого решения (xk,yk) системы и найдите среди них минимальное. В ответе укажите найденное минимальное значение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 5
Имеется два сплава. Первый сплав содержит p% примесей, а второй — соответственно q% примесей. Определите, в какой пропорции следует соединить эти сплавы, чтобы получился новый сплав, в котором содержится r% примесей. В ответе укажите отношение массы первого сплава к массе второго в виде десятичной дПВГ 2021, 10–11 классы, задача 6
Найдите все целые значения a, не превосходящие по абсолютной величине 15, при каждом из которых неравенство (4x-a-4/6x+a-12) le0 выполняется при всех x из промежутка [2;3]. В ответе укажите сумму всех таких a.ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 7 (творческая I)
Найдите все не превосходящие 100 натуральные значения n, при которых сумма 12+22+32+ldots+n2 делится на 50. Расположите эти значения n в порядке возрастания: n12k. В ответе укажите n4.ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 8 (творческая II)
Среди всех треугольников, вписанных в окружность фиксированного радиуса, с известной суммой квадратов всех углов α2+β2+γ2=(9π2/25), найдите все треугольники максимально возможной площади. Для каждого такого треугольника найдите наименьшее значение из всех ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 9 (творческая III)
Найдите все пары положительных чисел x, y, удовлетворяющих равенству (4x2y+6x2+2xy-4x/3x-y-2) +sin((3x2+xy+x-y-2/3x-y-2))=2xy+y2+(x2/y2) +(2x/y) + +(2xy(x2+y2)/(3x-y-2)2) +(1/(x+y)2) (x
