ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 8 (творческая II)
Среди всех треугольников, вписанных в окружность фиксированного радиуса, с известной суммой квадратов всех углов
найдите все треугольники максимально возможной площади. Для каждого такого треугольника найдите наименьшее значение из всех попарных произведений углов. В ответ запишите наименьшее из этих значений, при необходимости округлив до двух знаков после запятой. Все углы выражаются в радианах.
Ответ
Ответ: .
Решение. Если зафиксировать радиус описанной окружности и один из углов треугольника (например, угол ), то максимальную площадь будет иметь равнобедренный треугольник с углами , .
Действительно, если известен радиус и угол , то тем самым мы знаем сторону треугольника . Среди всех треугольников с данным основанием и углом при вершине максимальную площадь имеет треугольник с максимальной высотой, проведённой к основанию , то есть равнобедренный треугольник (рис. ).
Таким образом приходим к уравнению:
Решив уравнение, находим: и . Следовательно, возможны варианты треугольников с углами: , и , . Следовательно наименьшее значение из всех возможных попарных произведений углов равно .