ПВГ 2024, 9 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Отборочный этап, 2024, 9 класс

Точка лежит на стороне треугольника , причём . Точка – середина отрезка . Найдите минимально возможное значение выражения , если известно, что произведение всех медиан в треугольнике не менее . При необходимости округлите ответ до сотых.

Ответ

Ответ: .

Решение. Обозначим , , , , медианы в треугольнике обозначим через . Тогда из условия вытекает, что . Если достроить параллелограмм (см рис. ), то из равенства вытекает, что — тоже параллелограм. Откуда и .

Вспомогательное построение

Используя то, что сумма всех квадратов сторон в произвольном треугольнике равна от суммы всех квадратов медиан, получаем

Знак равенства в данной оценке достигается в случае, когда треугольник равносторонний.

Похожие задачи

ПВГ 2023, 9 класс, задача 6

В равносторонний треугольник ABC вписан другой равносторонний треугольник EFG так, что вершины E,F,G лежат соответственно на сторонах AB, BC и CD. Известно, что сумма площадей всех шести равносторонних треугольников AEE₁, E₂EB, BFF₁, F₂FC, FGG₁,

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2024, 9 класс, задача 6

Найдите наибольшее значение выражения M(x,y,z)=(|100(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)|/((x-y)²+(y-z)²+(z-x)²+(x+y+z)²)²) при условии, что x,y,z не обращаются одновременно в ноль. При необходимости округлите ответ до сотых

Сложная

Алгебра

Неравенства

ПВГ 2023, 11 класс, задача 3

Из точки M, лежащей внутри треугольник ABC, проведены перпендикуляры MD, ME, MF на стороны BC, AC, AB соответственно. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника DEF, если известно, что BC=a, AC=b, AB=c, MD=k, MF=m. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до бл

Сложная

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2022, 10–11 классы, задача 8 (творческая II)

Высота треугольника равна 10. Какие значения может принимать его площадь, если тангенсы всех трёх углов треугольника выражаются целыми числами? В случае нескольких значений площади укажите в ответе их сумму (если она конечна), или число 999999 (если сумма бесконечна). В случае невозможности ситуации

Сложная

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия