ПВГ 2022, 10–11 классы, задача 8 (творческая II)

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Отборочный этап, 2022, 10–11 классы

Высота треугольника равна . Какие значения может принимать его площадь, если тангенсы всех трёх углов треугольника выражаются целыми числами?

В случае нескольких значений площади укажите в ответе их сумму (если она конечна), или число (если сумма бесконечна). В случае невозможности ситуации укажите в ответе . При необходимости округлите ответ до сотых.

Ответ

Ответ: .

Решение. Обозначим углы треугольника . Тогда . Значит, , то есть . Тогда .

Отсюда

то есть

Значит, принимает одно из четырёх значений: , .

В результате получаются целые решения: , , и треугольник имеет углы , , .

В зависимости от того, к какой стороне проведена известная высота , данная сторона равна или , или , или . Поэтому площадь треугольника может быть равна или , или , или . Сумма возможных значений площади равна .

При ответ: .

Похожие задачи

ПВГ 2024, 10 класс, задача 4

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, причём BD:DA=(√3+1):2. Точка E – середина отрезка DC. Найдите минимально возможное значение выражения AB²+BC², если известно, что произведение всех медиан в треугольнике DBE не менее 2024. При необходимости округлите ответ до сотых.

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2023, 9 класс, задача 6

В равносторонний треугольник ABC вписан другой равносторонний треугольник EFG так, что вершины E,F,G лежат соответственно на сторонах AB, BC и CD. Известно, что сумма площадей всех шести равносторонних треугольников AEE₁, E₂EB, BFF₁, F₂FC, FGG₁,

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2025, 10 класс, задача 5

Три окружности с центрами A, B и C попарно касаются друг друга внешним образом и находятся в полосе между находящимися на расстоянии t друг от друга параллельными прямыми l₁ и l₂ так, что прямая l₁ касается первых двух окружностей и не имеет общих точек с третьей, а

Сложная

Мат анализ

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2022, 9 класс, задача 5

Вписанная в triangle ABC окружность с центром в точке I касается стороны BC в точке K. На отрезке CK выбираем точку D, на отрезке CD выбираем точку F, на отрезке AC выбираем точку E так, что CD=CE, EF=KD+KF. Найдите angle EFD, если angle EID=23^circ.

Сложная

Геометрия

Планиметрия