ПВГ 2022, 9 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Отборочный этап, 2022, 9 класс

Вписанная в окружность с центром в точке касается стороны в точке . На отрезке выбираем точку , на отрезке выбираем точку , на отрезке выбираем точку так, что , . Найдите , если .

Ответ

Ответ: .

Решение:

Чертёж к задаче

обозначим – точки касания окружности со сторонами , соответственно. Тогда как отрезки касательных, поэтому . , как отрезки касательных. Значит, можем записать цепочку равенств

поэтому по признаку описанного четырехугольника: описанный и касается окружности. Значит, – биссектриса угла . , как радиусы, проведенные к точкам касания. Треугольники и равны по двум катетам ( по доказанному, , где – радиус окружности), поэтому и по признаку четырехугольник вписанный. Значит, по свойству вписанного четырехугольника.

Похожие задачи

ПВГ 2022, 10–11 классы, задача 8 (творческая II)

Высота треугольника равна 10. Какие значения может принимать его площадь, если тангенсы всех трёх углов треугольника выражаются целыми числами? В случае нескольких значений площади укажите в ответе их сумму (если она конечна), или число 999999 (если сумма бесконечна). В случае невозможности ситуации

Сложная

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2024, 7–8 класс, задача 6

На плоскости покрашены в черный цвет точки с целыми координатами (x,y), где x,y принимают целые значения от 1 до 2024 (т.е. всего 2024² точек). Найдите максимальное число точек, которые можно перекрасить в красный цвет с соблюдением условия: каждый отрезок, концы которого окрашены в красн

Сложная

Геометрия

Комбинаторика

ПВГ 2023, 11 класс, задача 3

Из точки M, лежащей внутри треугольник ABC, проведены перпендикуляры MD, ME, MF на стороны BC, AC, AB соответственно. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника DEF, если известно, что BC=a, AC=b, AB=c, MD=k, MF=m. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до бл

Сложная

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2025, 10 класс, задача 5

Три окружности с центрами A, B и C попарно касаются друг друга внешним образом и находятся в полосе между находящимися на расстоянии t друг от друга параллельными прямыми l₁ и l₂ так, что прямая l₁ касается первых двух окружностей и не имеет общих точек с третьей, а

Сложная

Мат анализ

Геометрия

Планиметрия