ПВГ 2024, 10 класс, задача 4
Точка лежит на стороне треугольника , причём . Точка – середина отрезка . Найдите минимально возможное значение выражения , если известно, что произведение всех медиан в треугольнике не менее . При необходимости округлите ответ до сотых.
Ответ
Ответ: .
Решение. Обозначим , , , , медианы в треугольнике обозначим через . Тогда из условия вытекает, что . Если достроить параллелограмм (см рис. ), то из равенства вытекает, что — тоже параллелограм, откуда и .
Используя то, что сумма всех квадратов сторон в произвольном треугольнике равна от суммы всех квадратов медиан, получаем
Знак равенства в данной оценке достигается в случае, когда треугольник равносторонний.