ПВГ 2023, 9 класс, задача 6

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Отборочный этап, 2023, 9 класс

В равносторонний треугольник вписан другой равносторонний треугольник так, что вершины лежат соответственно на сторонах , и . Известно, что сумма площадей всех шести равносторонних треугольников , , , , , , построенных на сторонах , , , , , , равна . Найдите наименьшее возможное при этих условиях значение площади треугольника . При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

Ответ

Ответ: .

Решение. Легко доказать, что все синие и все красные треугольники на картинке равны. Для определённости будем считать, что , обозначим через . Обозначим за площадь равностороннего треугольника со стороной . Тогда

Также справедливо

По условию сумма площадей всех синих и красных треугольников равна . Поэтому

Следовательно,

Здесь мы использовали неравенство Коши: , которое достигается на .

Равносторонние треугольники

Похожие задачи

ПВГ 2025, 9 класс, задача 5

Три окружности попарно касаются друг друга и двух параллельных прямых как показано на рисунке: Три попарно касающиеся окружности между параллельными прямыми Известен cosangle O₁OO₂=dfrac{11}{14}. Найдите отношение радиуса большего круга к сумме радиусов двух оставшихся dfrac{R}

Сложная

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2024, 10 класс, задача 6

Найдите наибольшее значение выражения M(x,y,z)=(|10³(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)|/9(x²+y²+z²)²) при условии, что x,y,z не обращаются одновременно в ноль. При необходимости округлите ответ до сотых.

Сложная

Алгебра

Неравенства

ПВГ 2025, 10 класс, задача 5

Три окружности с центрами A, B и C попарно касаются друг друга внешним образом и находятся в полосе между находящимися на расстоянии t друг от друга параллельными прямыми l₁ и l₂ так, что прямая l₁ касается первых двух окружностей и не имеет общих точек с третьей, а

Сложная

Мат анализ

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2024, 10 класс, задача 4

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, причём BD:DA=(√3+1):2. Точка E – середина отрезка DC. Найдите минимально возможное значение выражения AB²+BC², если известно, что произведение всех медиан в треугольнике DBE не менее 2024. При необходимости округлите ответ до сотых.

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия