Покори Воробьёвы горы 2025, отборочный этап, 9 класс, задача 5

Три окружности попарно касаются друг друга и двух параллельных прямых как показано на рисунке:

Три попарно касающиеся окружности между параллельными прямыми

Известен . Найдите отношение радиуса большего круга к сумме радиусов двух оставшихся .

Ответ

Ответ: .

Решение: доказываем что и записываем теорему косинусов для треугольника .

a) Докажем, что .

Вспомогательное построение для трех окружностей

Запишем теорему Пифагора в : . Аналогично . Запишем теорему Пифагора в треугольнике :

Раскроем скобки и приведем подобные:

b) Запишем т. косинусов:

Раскроем скобки и приведем подобные

вспоминаем, что

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы 2023, отборочный этап, 9 класс, задача 6

В равносторонний треугольник ABC вписан другой равносторонний треугольник EFG так, что вершины E,F,G лежат соответственно на сторонах AB, BC и CD. Известно, что сумма площадей всех шести равносторонних треугольников AEE₁, E₂EB, BFF₁, F₂FC, FGG₁,

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 5 (10), задача 8 (11, творческая II)

Точки A, B и C принадлежат множествам, заданным на координатной плоскости Oxy уравнениями y-2x-1=0, y-7+3x=0 и y-1=0 соответственно. Точка D принадлежит множеству, заданному на координатной плоскости Oxy неравенством (y-2x-1)(y-7+3x)(y-1)>0. Найдите минимально возможное значение AD²+BD

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы 2024, отборочный этап, 7–8 класс, задача 6; 9 класс, задача 4

На плоскости покрашены в черный цвет точки с целыми координатами (x,y), где x,y принимают целые значения от 1 до 2024 (т.е. всего 2024² точек). Найдите максимальное число точек, которые можно перекрасить в красный цвет с соблюдением условия: каждый отрезок, концы которого окрашены в красн

Сложная

Геометрия

Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8 (творческая II)

Среди всех треугольников, вписанных в окружность фиксированного радиуса, с известной суммой квадратов всех углов α²+β²+γ²=(9π²/25), найдите все треугольники максимально возможной площади. Для каждого такого треугольника найдите наименьшее значение из всех

Сложная

Тригонометрия

Геометрия

Планиметрия