ПВГ 2024, 9 класс, задача 6
Найдите наибольшее значение выражения
при условии, что не обращаются одновременно в ноль. При необходимости округлите ответ до сотых
Ответ
Ответ: .
Решение: Не ограничивая общности можно считать (иначе переставим переменные). Также заметим, что при умножении на одно и то же число величина не меняется. В силу однородности числителя и знаменателя, за счёт умножения на одно и тоже число как числителя, так и знаменателя можно добиться, чтобы .
Обозначим . Тогда . Т.е. . С другой стороны
Запишем правую часть как и воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:
Таким образом , следовательно, , и максимальное значение равно
Подберем теперь так, чтобы все неравенства превратились в равенства.
Тогда , , , .
Видим, что при , , равенство выполняется.
Замечание. Знаменатель в условии можно было упростить до вида , а далее провести похожие рассуждения.