ПВГ 2021, 10–11 классы, задача 9 (творческая III)

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Отборочный этап, 2021, 10–11 классы

Найдите все пары положительных чисел , , удовлетворяющих равенству

В ответ запишите сумму величин по всем полученным парам решений при необходимости округлив до двух знаков после запятой. Если решений нет, то запишите , если решений бесконечно много то .

Ответ

Ответ: .

Решение. Предложенное уравнение переписывается в виде

где

а функция — строго выпуклая на всей числовой оси. По неравенству Йенсена, такое равенство возможно, только если , откуда имеем с учетом ,

Поэтому

Похожие задачи

ПВГ 2021, 9 класс, задача 7

Дана последовательность положительных чисел a₁,a₂,ldots,a₁₀, удовлетворяющих соотношению a_n(a_n-1+a_n+1)=2a_n-1a_n+1(a_n+1) при n=2,3,ldots,9. Найдите a₅, если известно, что a₁=1 и a

Сложная

Алгебра

Прогрессии

ПВГ 2024, 10 класс, задача 4

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, причём BD:DA=(√3+1):2. Точка E – середина отрезка DC. Найдите минимально возможное значение выражения AB²+BC², если известно, что произведение всех медиан в треугольнике DBE не менее 2024. При необходимости округлите ответ до сотых.

Сложная

Неравенства

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2025, 11 класс, задача 6

Найдите все значения a, лежащие на отрезке A, при каждом из которых неравенство cos²(π a)+log₂(2x)gelog₂(1+x²)+log₄(x²-2x+5) имеет решения. В ответе укажите сумму всех таких a, если их конечное число. Если решений нет или их бесконечн

Сложная

Неравенства

Тригонометрия

Логарифмы

ПВГ 2025, 11 класс, задача 1

Найдите сумму всех целых решений неравенства (x³-512+24x(8-x)/|√(4+2sqrt{3))-√(4-2√3)-x|}le√(x-2), не превосходящих по абсолютной величине 10.

Сложная

Алгебра

Неравенства