ПВГ 2024, 7–9 классы, задача 2 (7–8), задача 1 (9)
Незнайка забыл пин-код от своего смартфона, он помнил только, что:
Пин-код состоит из цифр, образующих -значное число, являющееся точным квадратом (квадратом целого числа).
Если каждую из цифр пин-кода увеличить на одно и то же значение, то получится снова -значное число, также являющееся точным квадратом.
Услышав это, Знайка, немного подумал и сказал «Существует всего два -значных числа с такими свойствами».
Найдите эти числа. В ответе укажите их подряд без пробела, сначала меньшее, потом большее. Например, если это числа и , то в ответе следует указать «».
Ответ
Ответ: .
Решение: Допустим, пин-код равен , тогда , . Заметим, что, поскольку , то не может быть кратно .
Следовательно, . Но , следовательно . Поэтому . Так как , то и нечетно. Разбираем варианты: . Первые два дают и . Последний дает – не подходит. Таким образом, пин-код равен или .