ПВГ 2023, 10 класс, задача 2

Средняя

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Отборочный этап, 2023, 10 класс

Федя внутри треугольника отметил точек (точки лежат в треугольнике не попадая на его стороны). Затем он образовал множество состоящее из отмеченных точек и трёх точек-вершин исходного треугольника. После он соединил некоторые пары точек из множества отрезками, которые могут пересекаться только в концах этих отрезков. По этим отрезкам Федя провел разрезы, в результате треугольник распался на маленьких треугольника. Найдите минимально возможное количество точек, которые отметил Федя.

Ответ

Ответ: .

Решение. Сумма углов маленьких треугольников равна .

С другой стороны, вокруг каждой внутренней точки в исходном треугольнике сумма углов равна , к ним надо добавить — углы исходного треугольника.

Получаем уравнение , откуда .

Альтернативное решение — ф-ла Эйлера , где , , а можно найти так — каждый треугольник дает ребра, но внутренние считают по раза, т.е. , откуда .

Похожие задачи

ПВГ 2024, 11 класс, задача 9 (творческая III)

Найдите коэффициент при x⁹⁹ в многочлене (x¹⁰⁰+x⁹⁹+x⁹⁸+ldots+x²+x+1)³ после раскрытия скобок и приведения подобных.

Средняя

Комбинаторика

ПВГ 2021, 7–9 классы, задача 7 (7–8), задача 4 (9)

Треугольник ABC — равнобедренный, AB=BC. На продолжении стороны AC за точку C выбрана точка D, такая, что angle ABD=90^circ. Из множества точек E, обладающих тем свойством, что точка D принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку CE, выбрали ту, которая находится на максимальном рассто

Средняя

Геометрия

Планиметрия

ПВГ 2021, 9 класс, задача 2

В выражении 0123ldots*99 вместо «звездочек» можно ставить знаки «+» или «-». Сколько различных положительных чисел можно получить таким образом?

Средняя

Выражения и преобразования

Комбинаторика

ПВГ 2025, 10 класс, задача 3

Готовясь к олимпиаде, Федя за 17 дней решил 153 задачи. Количество задач, решенных за день под номером i, обозначим a_i. Все a_i – натуральные числа, при этом a_ine a_j, если ine j. С первого по пятый день в каждый следующий день Федя решал меньше задач, чем в

Средняя

Комбинаторика