ПВГ 2024, 11 класс, задача 9 (творческая III)

Средняя
Комбинаторика
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Отборочный этап, 2024, 11 класс

Найдите коэффициент при в многочлене

после раскрытия скобок и приведения подобных.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Умножив многочлен дважды сам на себя, получим сумму одночленов вида , где . Это означает, что коэффициент при равен числу решений уравнения в целых неотрицательных числах.

Это число равно количеству способов разложить шаров по трем ящикам. Рассмотрим ряд из объекта: шаров и перегородок, расположенных в случайном порядке. Каждый такой ряд однозначно соответствует определенному способу расположения шаров в ящиках: в первом ящике находятся шары, расположенные слева от первой перегородки, во втором ящике – шары, расположенные между первой и второй перегородками, в третьем – шары, расположенные справа от второй перегородки (шаров может не быть между некоторыми перегородками). Следовательно, количество способов расположить шары в коробках равно числу различных рядов по шаров и перегородок, то есть равно

Похожие задачи

ПВГ 2024, 10 класс, задача 5

Найдите коэффициент при x65 в многочлене (x200+x199+x198+ldots+x2+x+1)3 после раскрытия скобок и приведения подобных.
Средняя
Комбинаторика

ПВГ 2025, 10 класс, задача 3

Готовясь к олимпиаде, Федя за 17 дней решил 153 задачи. Количество задач, решенных за день под номером i, обозначим ai. Все ai – натуральные числа, при этом aine aj, если ine j. С первого по пятый день в каждый следующий день Федя решал меньше задач, чем в
Средняя
Комбинаторика

ПВГ 2023, 10 класс, задача 2

Федя внутри треугольника отметил n точек (точки лежат в треугольнике не попадая на его стороны). Затем он образовал множество A состоящее из n отмеченных точек и трёх точек-вершин исходного треугольника. После он соединил некоторые пары точек из множества A отрезками, которые могут пересекаться толь
Средняя
Планиметрия
Комбинаторика

ПВГ 2025, 11 класс, задача 9 (творческая III)

Готовясь к олимпиаде, Петя за 13 дней решил 91 задачу. Количество задач, решенных за день под номером i, обозначим ai. Все ai – натуральные числа, при этом aine aj, если ine j. С первого по пятый день в каждый следующий день Петя решал меньше задач, чем в
Средняя
Комбинаторика