ПВГ 2025, 10 класс, задача 3
Готовясь к олимпиаде, Федя за дней решил задачи. Количество задач, решенных за день под номером , обозначим . Все – натуральные числа, при этом , если . С первого по пятый день в каждый следующий день Федя решал меньше задач, чем в предыдущий. Но с пятого по шестнадцатый день, наоборот, количество задач, решенных за день, росло. Найдите количество различных вариантов . Два варианта считаются различными, если хотя бы на одной из позиций в них расположены разные числа.
Ответ
Ответ: .
Решение. Так как , то получается, что все , и – перестановка чисел , для которой и . При этом может быть равно любому числу от до , без ограничений. Так как чисел из больше, чем , то равно или .
Если , то . Разместим набор из оставшихся чисел в двух представлениях: в порядке убывания и в порядке возрастания и . Из первого набора нужно выбрать любые числа и расположить их слева направо в качестве , , и . После этого во втором наборе нужно удалить эти числа и расположить оставшиеся числа слева направо в качестве , , , , , , , , , и . Количество таких перестановок определяется количеством сочетаний элементов из :
Если , то может быть равно любому из оставшихся чисел. Пусть, например, (рассуждения аналогичны для любого другого выбора). Как и ранее, разместим набор из оставшихся чисел в двух представлениях: и . Далее выбираем любые числа из первого набора и располагаем их слева направо в качестве , , и . Остальное аналогично. Количество таких перестановок также равно .
Общее количество перестановок равно .