ПВГ 2024, 10 класс, задача 5

Ответ: .

Решение. Умножив многочлен дважды сам на себя, получим сумму одночленов вида , где . Это означает, что коэффициент при равен числу решений уравнения в целых неотрицательных числах.

Это число равно количеству способов разложить шаров по трем ящикам. Рассмотрим ряд из объекта: шаров и перегородок, расположенных в случайном порядке. Каждый такой ряд однозначно соответствует определенному способу расположения шаров в ящиках: в первом ящике находятся шары, расположенные слева от первой перегородки, во втором ящике – шары, расположенные между первой и второй перегородками, в третьем – шары, расположенные справа от второй перегородки (шаров может не быть между некоторыми перегородками).

Следовательно, количество способов расположить шары в коробках равно числу различных рядов по шаров и перегородок, то есть равно