ПВГ 2023, 7–9 классы, задача 5 (7–8), задача 4 (9)
Алиса внутри треугольника отметила точек (точки лежат в треугольнике не попадая на его стороны). Затем она образовала множество состоящее из отмеченных точек и трёх точек-вершин исходного треугольника. После она соединила некоторые пары точек из множества отрезками, которые могут пересекаться только в концах этих отрезков. По этим отрезкам Алиса провела разрезы, в результате треугольник распался на маленьких треугольника. Найдите минимально возможное количество точек, которые отметила Алиса.
Ответ
Ответ: .
Решение. Сумма углов маленьких треугольников равна .
С другой стороны, вокруг каждой внутренней точки в исходном треугольнике сумма углов равна , к ним надо добавить — углы исходного треугольника.
Получаем уравнение , откуда .
Альтернативное решение — ф-ла Эйлера , где , , а можно найти так — каждый треугольник дает ребра, но внутренние считают по раза, т.е. , откуда .