ПВГ 2022, 10–11 классы, задача 6
Найдите все целые значения , не превосходящие по абсолютной величине , при каждом из которых неравенство
выполняется при всех из промежутка . В ответе укажите сумму всех таких .
Ответ
Ответ: .
Решение. Обозначим . Тогда получаем, что неравенство
должно выполняться при всех .
Необходимое условие для этого , , откуда получаем:
Таким образом, . Выясним, является ли это условие достаточным.
Значения подходят, так как тогда функция либо линейная, либо выпукла вверх и поэтому положительна на всём интервале .
При имеем параболу с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины параболы . Дискриминант равен
Если , то дискриминант отрицателен, и функция положительна.
Если же , то вершина параболы левее интервала . Это гарантирует положительность функции на этом интервале.
Таким образом, все значения удовлетворяют условию. Условию удовлетворяют .
Сумма целых значений: .