Покори Воробьевы горы 2021, 2022, Отбор, 7-9 класс, вопрос 1
( баллов):
Однородный куб массой г покоится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между кубиком и поверхностью равен . К середине одного из его верхних ребер прикладывают силу, линия действия которой лежит в одной вертикальной плоскости с центром куба (см. рисунок). При какой минимальной величине этой силы возможно, что куб начнет вращаться вокруг оси, проходящей через его нижнее ребро, причем эта ось не будет перемещаться? Ответ запишите в ньютонах, с точностью до сотых, без указания единиц измерения. Ускорение свободного падения считать равным .
Ответ: .
Комментарий: Пусть - угол наклона линии действия силы к горизонтали. Тогда требование отсутствия скольжения куба означает, что сила трения , а сила нормальной реакции поверхности , и при этом . Значит,
С другой стороны, в момент начала отрыва куба от поверхности при повороте вокруг ребра, точка приложения силы нормальной реакции смещается на это ребро, и для переворота момент силы относительно ребра должен быть не меньше момента силы тяжести:
и поэтому
Как видно, при каждом значении величина должна принадлежать заданному этими неравенствами интервалу значений, а минимальное возможное значение соответствует максимальному значению , достигаемому для при совпадении границ интервалов, то есть при значении угла, определяемого из уравнения
Значит,
(отметим, что во всех вариантах было , так что соответствующее ). Подставляя это значение угла в любое из «пограничных» выражений для силы, находим, что (при )
При ответ был бы