Робофест 2024, 9 класс, задача 3
Вопрос. Как максимальная скорость, до которой может разогнаться автомобиль по горизонтальной дороге, зависит от максимальной полезной мощности его двигателя, если его колеса при движении с этой скоростью не проскальзывают, а величина действующей на него силы сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости автомобиля относительно дороги (ветра нет)? Ответ объяснить.
Задача. Полноприводной автомобиль с нейтральным аэродинамическим профилем (при его движении обтекающий поток воздуха не создает ни прижимной, ни подъемной силы) разгоняется по прямой горизонтальной дороге. При первом разгоне мощность, передаваемая двигателем на валы ведущих колес, плавно росла, достигая значения . При этом максимальная скорость, достигнутая при достаточно длительном разгоне, составила . Во время второго разгона мощность росла до , и максимальная скорость возросла до . В третий раз, при максимальной мощности , максимальная скорость стала равна . Известно, что величина действующей на автомобиль силы сопротивления воздуха растет пропорционально квадрату его скорости. Какой станет максимальная скорость автомобиля при увеличении мощности до ? Для последнего значения мощности найдите (в процентах) КПД использования работы двигателя при движении с максимальной скоростью (то есть долю мощности, расходуемую на компенсацию потерь, связанных с силой сопротивления воздуха).
Ответ на вопрос. Если колеса не проскальзывают, то вся работа двигателя в режиме движения с максимальной установившейся скоростью идет на компенсацию потерь, связанных с работой силы сопротивления воздуха (величина которой по условию может быть записана в виде ).
Если аэродинамика кузова автомобиля неизменна, то при увеличении максимальной мощности будет расти и максимальная скорость — пропорционально корню кубическому из мощности.
Решение задачи. Пока колеса не проскальзывают, скорость должна расти пропорционально корню кубическому из мощности. Проверим это:
Значит, при первых двух значениях мощности при движении с максимальной скоростью колеса не проскальзывали, а при третьем уже проскальзывали. При движении в режиме проскальзывания колес максимальная скорость определяется балансом сил:
и не зависит от мощности. Поэтому при следующем значении мощности () максимальная скорость останется прежней, то есть равной .
Найдем мощность , при которой произошел переход из режима движения без проскальзывания колес в режим с проскальзыванием. Эта мощность определяется из уравнения
Так как при росте расходуемой мощности скорость расти не будет, то и мощность, расходуемая на компенсацию потерь, связанных с силой сопротивления воздуха, меняться не будет. Поэтому искомая доля
Ответ. При максимальная скорость , и доля мощности, расходуемая на компенсацию потерь, связанных с силой сопротивления воздуха, равна примерно .
Указано, что в отсутствие проскальзывания вся работа двигателя в режиме движения с максимальной установившейся скоростью идет на компенсацию потерь, связанных с работой силы сопротивления воздуха
На базе условия указано, что
Показано, что
Сделан правильный итоговый вывод
Установлено, что при первых двух значениях мощности при движении с максимальной скоростью колеса не проскальзывали
Обнаружено, что при третьем значении мощности колеса уже проскальзывали
Сделан вывод, что максимальная скорость останется прежней, то есть равной
Определена «точка перехода» между режимами ()
Указано, что при повышении мощности за «точку перехода» мощность, расходуемая на компенсацию потерь, связанных с силой сопротивления воздуха, меняться не будет
Получен правильный ответ для