Робофест 2023, 10 класс, задача 1
Вопрос. Две гладкие цилиндрические шайбы, двигавшиеся поступательно, сталкиваются. При выполнении какого условия после удара они тоже движутся поступательно? Ответ объяснить.
Задача. На гладкой горизонтальной поверхности покоилась гладкая однородная цилиндрическая шайба массой с радиусом . Еще одна гладкая однородная цилиндрическая шайба такой же высоты (но с массой и радиусом ) скользила, не вращаясь, по этой поверхности со скоростью , причем ее центр двигался по прямой, касающейся поверхности покоящейся шайбы (см. рисунок). Произошел упругий удар. Найдите величины скоростей шайб после удара.
Ответ на вопрос. Для того, чтобы тела не изменили состояния вращения при ударе, момент действующих на них в процессе удара сил относительно центра масс каждого тела должен быть равен нулю. Таким образом, линия удара (линия, вдоль которой будут направлены силы взаимодействия при ударе) должна проходить через центры масс обеих шайб. Поскольку шайбы гладкие и цилиндрические, линия удара будет идти перпендикулярно поверхности соприкосновения, то есть она пройдет через точку соприкосновения шайб и геометрические центры обеих шайб. Значит, шайбы не начнут вращаться, если их центры масс окажутся на этой же прямой. Например, это условие будет выполнено, если шайбы однородные, так как тогда их центры масс совпадают с их геометрическими центрами.
Решение задачи. Так как силы трения между шайбами нет, то покоящаяся шайба начнет двигаться по линии удара, которая совпадает с прямой, проходящей через центры шайб в момент соударения. Удобно анализировать соударение в системе координат, в которой эта линия выбрана как ось , а ось — перпендикуляр к ней (как показано на рисунке).
Обозначим угол между линией удара и направлением начального движения шайбы. Из геометрического анализа видно, что
Так как силы, действующие на шайбы, направлены вдоль оси , то проекции скоростей шайб на ось не изменяются, то есть
и
Задача для -компонент скоростей полностью аналогична «стандартной» задаче о лобовом упругом соударении:
(здесь учтено, что ). Таким образом,
а
Ответ. Конечная скорость большей шайбы , а меньшей .
Указано на необходимость равенства нулю момента сил взаимодействия относительно ЦМ шайб
Указано, что для этого линия удара должна проходить через эти ЦМ (или указано другое эквивалентное геометрическое условие для направления сил взаимодействия)
Указано, что для гладких цилиндрических шайб линия удара проходит через их геометрические центры
Приведен пример с однородными шайбами
Правильно записаны два независимых уравнения ЗСИ
Правильно записано уравнение ЗСЭ
Установлено (используется в решении), что большая шайба движется вдоль линии удара
Получены правильные выражения для двух компонент скорости меньшей шайбы
Получено правильное выражение для скорости большей шайбы
Получен правильный численный ответ для скорости большей шайбы
Получен правильный численный ответ для скорости меньшей шайбы