Робофест 2024, 10 класс, задача 2
Вопрос. Цилиндрический сосуд с гладкими вертикальными стенками помещен в камеру, из которой откачан воздух. В сосуде под подвижным поршнем находится моля азота при температуре , и в состоянии равновесия поршень располагается на высоте над дном сосуда. Найдите массу поршня. Универсальная газовая постоянная , ускорение свободного падения .
Задача. Гладкая запаянная с одного конца трубка образует два вертикальных «колена», соединенных внизу тонкой перемычкой (см. рисунок). В запаянном сверху колене (высотой ) находится некоторое количество газа, в открытое наливают жидкость до определенного уровня. При «начальном» уровне жидкости газ занимал половину объема запаянного вертикального колена. Когда в открытое колено аккуратно долили жидкости, так что ее уровень в этом колене стал выше на , газ занимал уже только четверть объема запаянного колена. В открытое колено снова долили жидкости, и ее уровень поднялся еще на . Какую часть объема запаянного колена занимает газ в этом состоянии?
Ответ на вопрос. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешивается давлением газа, то есть
Из уравнения Менделеева—Клапейрона
Объединяя эти уравнения, находим
Решение задачи. Обозначим долю объема, занимаемого газом в запаянном колене при произвольном значении . При этом высота столба жидкости в этом колене равна . Запишем условие баланса давлений:
и вычислим давление газа из уравнения Менделеева—Клапейрона:
Следовательно, интересующая нас величина определяется выражением
в котором
— постоянная величина. Запишем это соотношение для двух случаев, в которых известно:
Значит, зависимость от высоты столба жидкости в открытом колене:
В частности, при получаем
Ответ. .
Записано условие равновесия столба жидкости
Давление газа связано с с помощью уравнения Менделеева—Клапейрона
Получено уравнение, связывающее с , содержащее не более двух параметров
Определены значения параметров зависимости
Получено уравнение для определения искомой величины без других неизвестных
Получен правильный численный ответ