Робофест 2023, 9 класс, задача 4
Вопрос. Какое максимальное количество своих изображений можно увидеть (хотя бы частично) в двугранном зеркале, плоские грани которого перпендикулярны друг другу?
Задача. По диагонали квадратного поля движется со скоростью небольшой робот с яркой лампочкой. Вслед за ним движется на подставке с роликами двугранное зеркало, у которого обе зеркальные поверхности параллельны сторонам поля, и его скорость тоже параллельна одной из его сторон (см. рисунок). Неподвижный наблюдатель расположен так, что он видит максимально возможное количество изображений лампочки робота. Определите величины и направления скоростей всех этих изображений относительно наблюдателя.
Ответ на вопрос. Рассмотри некоторое положение светящейся точки. Если луч, упавший от этой точки на грань двугранного зеркала, после отражения «не задевает» вторую грань, то он вместе с другими такими же лучами кажется наблюдателю выходящим из своего изображения в этой грани, расположенного симметрично точке относительно плоскости этой зеркальной грани. Таким образом, две грани создадут два разных изображения светящейся точки. Кроме того, как видно из построения, лучи, которые после первого отражения падают на другую грань и испытывают второе отражение, кажутся выходящими из точки, симметричной первому изображению относительно второй грани.
При этом независимо от порядка отражений от граней это одно и то же изображение. Таким образом, всего двугранное зеркало создает три изображения светящейся точки, которые вместе с самой точкой находятся в вершинах прямоугольника, стороны которого параллельны граням зеркало. Чтобы увидеть каждое из изображений, глаз наблюдателя должен находиться в точке, в которой отрезок, соединяющий его с этим изображением, пересекает поверхность зеркала, создающего это изображение. Снова обратив внимание на построение, убеждаемся, что существуют точки, для которых это условие выполнено по отношению ко всем трем изображениям. Значит, максимальное количество наблюдаемых изображений — три (хотя вовсе не обязательно, что все три изображения будут видны целиком).
Решение задачи. Перейдем в Систему Отсчета, связанную с зеркалом. В этой СО скорость лампочки . Ее проекции на оси (направленную «вправо» по рисунку параллельно грани зеркала) и («вверх» параллельно второй грани) равны
и
Нетрудно заметить, что при одном отражении в неподвижном плоском зеркале параллельная зеркалу компонента скорости источника сохраняется, а перпендикулярная — меняет знак. Значит, компоненты скоростей трех изображений относительно зеркала равны:
Для возвращения в неподвижную СО нужно к каждой из скоростей добавить . Значит:
Теперь легко находим величины скоростей:
Направления указаны на рисунке.
Ответ. , и .
Указано, что каждая из плоских граней зеркала создает одно изображение светящейся точки
Указано на существование третьего изображения благодаря «двойным» отражениям
Сформулировано условие видимости изображения для наблюдателя
Дан правильный ответ
Используется переход в СО, связанную с зеркалом
В этой СО правильно найдены компоненты скоростей всех изображений
Правильно описан переход в СО, связанную с наблюдателем
Правильно найдены компоненты скоростей всех изображений в этой СО
Получены правильные численные ответы