Робофест 2023, 9 класс, задача 1
Вопрос. Какую минимальную по величине скорость необходимо сообщить маленькой шайбе на вершине гладкой полусферической горки радиуса , чтобы она полетела (оторвавшись от поверхности горки) сразу после старта? Ускорение свободного падения , сопротивление воздуха отсутствует.
Задача. На вершине полусферической гладкой горки радиусом удерживали маленькую шайбу. Ее запустили скользить по поверхности горки, сообщив ей начальную скорость . На какой высоте от основания горки шайба оторвется от ее поверхности? Какова будет максимальная величина ускорения шайбы во время ее скольжения по горке? Ускорение свободного падения считайте равным , сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ
Ответ на вопрос. Если шайба не отрывается от поверхности горки, она движется по окружности радиуса , и ее центростремительное ускорение на вершине горки создается разностью сил тяжести и силы нормальной реакции поверхности:
При отрыве обращается в ноль, так что минимальная необходимая для отрыва скорость .
Решение задачи. В процессе скатывания шайбы с горки ее потенциальная энергия в поле тяжести будет переходить в кинетическую энергию:
С другой стороны, уравнение для центростремительной компоненты ускорения шайбы движения следует, что
( — сила нормальной реакции, действующая на шайбу со стороны поверхности горки), где угол отклонения радиуса, проведенного в точку отрыва, связан с высотой соотношением
Снова, как и при ответе на вопрос, воспользуемся тем, что в точке отрыва . Тогда получаем уравнение
Решая его относительно высоты, получаем:
Как ясно из общего уравнения движения , величина ускорения в точке отрыва равна величине ускорения свободного падения. До этой точки всегда уменьшает перпендикулярную поверхности компоненту ускорения, не влияя на касательную. Значит, до отрыва величина ускорения всегда меньше . Таким образом, максимальная величина ускорения шайбы во время ее скольжения по горке равна величине ускорение свободного падения .
Ответ. , максимальная величина ускорения шайбы равна .