ВсОШ 2025, Муницип, 10 класс, задачи 15–17
Луч света падает на тонкую собирающую линзу с оптической силой под малым углом к главной оптической оси, а после преломления он идёт под малым углом к главной оптической оси (см. рис.).
1. На какое расстояние и в какую сторону нужно сдвинуть линзу вдоль оси , чтобы преломлённый луч вышел из линзы параллельно главной оптической оси линзы? Дайте ответ в сантиметрах с округлением до десятых долей. Если сдвинуть нужно в положительном направлении оси , укажите положительное значение, если в противоположном — отрицательное.
2. На какое расстояние и в какую сторону нужно сдвинуть линзу вдоль оси , чтобы преломлённый луч вышел параллельно главной оптической оси линзы? Дайте ответ в миллиметрах с округлением до десятых долей. Если сдвинуть нужно в положительном направлении оси , укажите положительное значение, если в противоположном — отрицательное.
3. В какую сторону и на какой угол нужно повернуть линзу вокруг её оптического центра (вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка), чтобы преломлённый луч был перпендикулярен плоскости линзы? Дайте ответ в градусах с округлением до десятых долей. Если повернуть линзу нужно по часовой стрелке, укажите положительное число, если против часовой стрелки — отрицательное.
Ответ.
1. .
2. .
3. .
Решение.
1. Обозначим как расстояние между оптическим центром линзы и точкой пересечения падающего луча с главной оптической осью. Аналогично введём расстояние для преломлённого луча. Расстояние между оптическим центром линзы и точкой падения луча на линзу обозначим как .
Расстояния и связаны друг с другом формулой тонкой линзы:
Для связи линейных величин с угловыми в силу малости углов запишем: и . Объединяя эти формулы, запишем для величины :
Тогда для расстояния получим:
Изобразим на рисунке преломление луча в сдвинутой линзе. Предположим, что линзу переместили в положительном направлении оси на расстояние .
Расстояние между линзой и точкой падения луча должно быть равно фокусному расстоянию линзы :
Тогда расстояние может быть найдено, как
Видно, что линзу необходимо сдвинуть влево.
2. Переместим линзу относительно исходного положения вверх на расстояние так, чтобы падающий луч проходил через фокус линзы.
Запишем связь геометрических величин:
Отсюда для вертикального смещения линзы получаем
Так как полученная величина положительна, то линзу необходимо сдвинуть вверх.
3. Так как расстояние , то поворачивать линзу необходимо по часовой стрелке для уменьшения расстояния между точкой пересечения падающего луча с главной оптической осью линзы и её оптическим центром. Изобразим ход луча и положение линзы на рисунке:
Обозначим угол поворота линзы . Запишем теорему синусов для треугольника, образованного падающим лучом и двумя положениями оптической оси:
В силу малости углов можно переписать выражение, как:
Отсюда угол поворота линзы:
С учётом предыдущих выкладок:
Максимальный балл за задачу