Инженерная олимпиада 2024, 9 класс, задача 5
Есть два одинаковых конуса с углом при вершине . Конусы склеили основаниями и положили на две одинаковые дощечки в форме прямоугольных треугольников с одним из острых углов . Дощечки расположили перпендикулярно земле так, что угол между ними равен (правый рисунок - вид сверху). Описать поведение конусов в зависимости от углов , и . При каком соотношении углов конусы будут находиться в равновесии? При каком соотношении углов будут двигаться вверх, а при каком вниз?
Решение.
Конусы будут двигаться так, что их центр тяжести (который находится посередине общего основания конусов) будет опускаться. При этом перемещение точки касания конусов и дощечек вверх по дощечкам может сопровождаться опусканием центра тяжести конусов. Поэтому в зависимости от углов раствора конусов, подъема дощечек и раствора дощечек может случиться, что центр тяжести конусов опускается при движении конусов по дощечкам вверх, а может случиться, что центр тяжести опускается при движении конусов по дощечкам вверх. Вторая ситуация создает иллюзию «неправильного» движения.
Ясно, что границей между этими случаями является сохранение высоты расположения центра тяжести конусов на одной и той же высоте по отношению к земле и при движении конусов по дощечкам вверх, и при движении конусов по дощечкам вниз. Найдем соотношение углов, при котором реализуется эта ситуация.
Пусть точка касания конусов и дощечек переместилась вверх на расстояние по дощечкам (см. рисунок; красный отрезок). Тогда точка касания конусов и дощечек поднялась по отношению к земле на высоту (синий отрезок)
где - угол подъема дощечек. С другой стороны, перемещение точки касания на расстояние по дощечкам приводит к перемещению оси конусов на расстояние
(зеленый отрезок) где - угол полураствора дощечек.
С третьей стороны, перемещение оси конусов на расстояние приводит к перемещению точки касания конусов и дощечек на расстояние
по оси конусов, что приводит к опусканию точки касания на величину
Таким образом, центр тяжести конусов останется на той же высоте над землей, если выполнено условие
или
При выполнении этого равенства центр тяжести конусов остается на одной и той же высоте при их перемещении по дощечкам, и, следовательно, конусы находятся на дощечках в положении безразличного равновесия - любое их перемещение по дощечкам не приводит к повышению или понижению центра тяжести конусов по отношению к земле. Следовательно, конусы будут находиться в равновесии на дощечках в любом положении.
Итак, если
то перемещение конусов по дощечкам вверх приводит к понижению их центра тяжести по отношению к земле, поэтому в этом случае конусы и будут двигаться по дощечкам вверх. Если выполнено обратное неравенство
то перемещение конусов по дощечкам вверх приводит к подъему их центра тяжести, и конусы так двигаться не будут, а будут спускаться по дощечкам вниз.
Верная главная идея решения: при движении конусов по дощечкам вверх их центр тяжести может опускаться, подниматься или оставаться на той же высоте над землей
Правильная идея нахождения соотношения углов: сравнение высоты подъема оси конусов с опусканием центра тяжести по отношению к оси
Правильное соотношение углов при равновесии
Правильные условия спуска и подъема конусов