Инженерная олимпиада 2024, 10 класс, задача 6

Решение.

Если бы три внутренние трубы находились на гладкой горизонтальной поверхности (в положении, показанном на рисунке в условии - две внизу, а одна сверху между ними), они не смогли бы находиться в равновесии, поскольку на нижние трубы со стороны верхней действовала бы сила, имеющая горизонтальную составляющую, которую нечем компенсировать. Если три внутренние трубы были бы расположены в узкой внешней трубе, им было бы некуда раскатиться и они находились бы в равновесии. Это значит, что некоторое соотношение радиусов труб отвечает границе между этими случаями.

Найдем это соотношение, рассматривая равновесие труб. При этом указанием на нарушение равновесия будет обращение в нуль силы реакции между малыми трубами.

Найдем эту силу. На верхнюю трубу действуют сила тяжести и две силы реакции со стороны двух нижних труб. Очевидно, эти силы одинаковы и направлены под углом к вертикали. Поэтому условие равновесия верхней трубы дает

На каждую из двух нижних труб действуют: сила тяжести , сила реакции со стороны верхней трубы , сила реакции внешней трубы и сила реакции между двумя нижними трубами (см. рисунок). Причем сила реакции со стороны верхней трубы направлена под углом к вертикали, сила реакции между двумя нижними трубами - горизонтально, а сила реакции внешней трубы - перпендикулярно ее поверхности в точке касания малой трубы.

Поэтому условие равновесия нижней малой трубы в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси дает

Геометрически очевидно, что

Из системы с учетом найденного получаем силу реакции между нижними трубами

Из этой формулы следует, что сила реакции между нижними трубами обращается в нуль, если

или

Решая это квадратное уравнение, получаем соотношение между радиусами труб, когда малые трубы начинают разъезжаться: